Estadística Inferencial:
Estimaciones Por Punto y Por Intervalo

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Introducción


Con frecuencia, las organizaciones requieren tener indicios del comportamiento de cierta variable de interés. Por ejemplo, el área de mercadotecnia de un banco pudiera estar interesada en conocer qué proporción de tarjetahabientes del producto premium responde a una promoción relacionada con un viaje a pagar en plazos sin intereses. Se observa que el comportamiento de la población está determinado por el valor de un parámetro desconocido, el cual se calculará con la información de una muestra.

Para lograrlo, se utiliza la estimación puntual y por intervalo, por lo que en este tema se abordarán las notaciones, conceptos y fórmulas utilizadas en ambos cálculos.

¡Comencemos!



tarjeta de crédito


Hassan, M. (2018). Tarjeta de crédito [ilustración]. Tomada de https://pixabay.com/es/tarjeta-de-tarjeta-de-cr%C3%A9dito-iconos-3293508/

El estudio de este tema te permitirá:

Identificar las notaciones utilizadas en las estimaciones por punto y por intervalo, a partir de la descripción de ambos cálculos, para la valoración de parámetros poblacionales.

Estimaciones


La finalidad de la estadística inferencial es realizar estimaciones de parámetros poblacionales con los valores de una muestra. Por ejemplo:


En una organización se realizará un evento deportivo, donde se ofrecerán bebidas energéticas a 800 participantes, por lo cual, los organizadores se preguntan qué cantidad del líquido adquirir. Para resolver este problema, encuestan a una muestra de 50 posibles asistentes acerca de la cantidad de bebida que consumen en un evento similar. La encuesta arrojó que en promedio consumen cuatro litros por persona; así, los organizadores estiman que deberán adquirirse 800 x 4 = 3200 litros; sin embargo, creen que no necesariamente se tendría que consumir esa cantidad, por lo que prefieren manejar un intervalo, y después de un análisis de la información estiman que el consumo será entre 3000 y 3400 litros.

¿Qué diferencia hubo entre ambas estimaciones?


En este tema podrás responder a esa pregunta. Comencemos con la revisión de estos conceptos:

Parámetro Estimador
Es un valor de la población que determina su comportamiento; por ejemplo, el comportamiento de una población con un promedio de cinco unidades es diferente a otra con promedio de ocho unidades. Para hacer referencia a un parámetro poblacional, se utilizará la letra griega theta θ Es la regla que indica cómo realizar el cálculo de una estimación a través de una fórmula que involucre los valores de una muestra; se denota como , en donde el símbolo “^” significa que la fórmula es un estimador del parámetro θ. Por ejemplo, si el parámetro poblacional a estimar (θ) es el promedio poblacional , el estimador del parámetro se denotará como .



Se define como estimación al valor resultante de aplicar el estimador con los datos de la muestra.



En la siguiente figura se ilustra el objetivo de un estimador:

Objetivo de un estimador


Objetivo de un estimador



Podemos observar que se presentan dos conjuntos de diferente tamaño. El menor ejemplifica una muestra de tamaño n, tomada del conjunto mayor, que es la población con N elementos. Dentro de la muestra se obtiene el estimador , el cual busca calcular el valor del parámetro poblacional θ, que normalmente se desconoce. Se espera que la estimación se aproxime al valor real, lo cual se representa con el símbolo ≈.



Tipos de estimación


En el ejemplo narrado al comienzo de este tema, los organizadores del evento estimaron la cantidad de bebida energética a través de un valor puntual y mediante un rango. Lo anterior ejemplifica que la estimación de un parámetro se puede hacer de dos formas: puntual o por intervalo.

Tipos de estimación


Tipos de estimación



Se puede observar que la línea azul señala la estimación puntual del parámetro (3200 litros de bebida energética); y las líneas verdes, el rango de valores donde se espera que se encuentre el valor del parámetro (3000 a 3400 litros de bebida energética).



A continuación las características de los dos tipos de estimación:

Estimación puntual

La estimación puntual o por punto consiste en utilizar una regla o fórmula para estimar el parámetro poblacional con los valores de una muestra. El resultado de esta estimación es solamente un valor.

Los parámetros poblacionales que habitualmente interesa estimar son el promedio y la proporción poblacional. La tabla siguiente presenta los estimadores para estos parámetros:

Parámetros y estimadores más usados


Parámetros y estimadores más usados



Cuando se desconoce la varianza poblacional, se recurre a estimarla con la muestral:




Estimación por intervalos



La estimación por intervalos consiste en calcular un rango de valores en los que se espera, con cierto nivel de confianza, que se encuentre contenido el parámetro. El resultado de esta estimación es un intervalo. Es común llamar a este rango de valores intervalo de confianza.

La fórmula general para construir el intervalo de confianza es:




Donde:

𝐼𝐶= Intervalo de confianza
𝜃̂=Estimador puntual del parámetro
𝛿=Nivel de confianza (Probabilidad de que el intervalo de confianza contenga al parámetro de la población)
𝜎𝜃̂=Desviación estandar del estimador



Como un estimador emplea los valores de una muestra aleatoria, el resultado es también aleatorio, por lo que un estimador es una variable aleatoria con un valor esperado 𝑬 [𝜽̂] y una varianza 𝑽𝒂𝒓 [𝜽̂]. El nivel de confianza de la fórmula más que entenderse como una probabilidad, debe considerarse una proporción de éxito en un número muy grande de repeticiones.

Para construir un intervalo de confianza, es necesario conocer la estimación puntual del parámetro, la desviación del estimador y determinar el nivel de confianza.

La siguiente tabla muestra, para los parámetros promedio y proporción, su estimador, la fórmula para realizar la construcción del intervalo de confianza para muestras grandes y pequeñas, la fórmula para realizar una estimación puntual y la desviación estándar del estimador.

Construcción de un intervalo de confianza


Elementos para construir un intervalo de confianza para el promedio y proporción poblacional



Actividad. Notaciones

Las estimaciones por punto y por intervalo permiten valorar parámetros poblacionales a partir de la información de una muestra. Para referirse a dichos parámetros, estas estimaciones emplean ciertas notaciones, las cuales son de gran ayuda para sintetizar y entender cómo seguir el procedimiento de cálculo.

Autoevaluación. Conceptos

¿Conoces los conceptos básicos de la estimación por punto y por intervalo? ¡Averígualo!

Fuentes de información

Básicas

Bibliografía

Anderson, S. (2012). Estadística para negocios y economía (11.ª ed.). México: Cengage Learning.

Levin, R. y Rubin, D. (2010). Estadística para administración y economía (7.ª ed.). México: Pearson Educación.

Documentos electrónicos

Rodríguez, A. y García, M. (2012). Estadística II. Apunte electrónico [Versión electrónica]. México: SUAYED-FCYA-UNAM. Consultado el 01 de agosto de 2018 de http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/20172/contaduria/3/apunte/LC_1353_03106_A_estadisticaII.pdf

Complementarias

Bibliografía

Lind, A. D., Marchal G. W. y Wathen, S. (2012). Estadística aplicada a los negocios y economía (15.ª ed.). México: McGraw-Hill.


Cómo citar