En la actualidad, los requerimientos analíticos de las empresas avanzan rápidamente; por ello, se requieren modelos y algoritmos más complejos para la solución de los problemas.
Para determinar y resolver las interacciones que producen mejores procesos productivos y rinden mayores utilidades para las organizaciones, deben construirse complejos modelos donde se interrelacionan sistemas de ecuaciones y transformaciones lineales. Y para construirlos, se necesita conocer una variedad de herramientas que permiten plantear, analizar y resolver estas estructuras de manera rápida y con un cierto nivel de versatilidad que se adapte a las condiciones cambiantes de los negocios.
Es en estos entornos donde los conceptos de determinante y valores y vectores característicos encuentran un importante nicho de aplicación; por lo tanto, es importante conocer y dominar las técnicas matemáticas avanzadas que ofrece el álgebra lineal.
Determinantes
La teoría de funciones es un extenso campo de las matemáticas; así como en la ecuación de una recta y=mx , donde un par de números (x,y) están relacionados por una regla de asignación, también existen casos donde la variable es una matriz “A” y la función matemática le asigna a ésta un valor escalar “y ”. Éste es precisamente el caso de la función determinante, la cual es un número asignado algorítmicamente a una formación cuadrada de números (matriz), y se denota con el siguiente símbolo:
Y se lee “determinante de la matriz A”.
En esencia, la función determinante versa sobre una regla de asignación que tiene su base en la teoría de las permutaciones y es muy aplicada en el estudio de las ecuaciones lineales y sus soluciones.
Existen varios procedimientos algorítmicos para calcular el determinante de una matriz; sin embargo, este tema se enfocará en dos: la regla de Sarrus y el método de cofactores.
Sea “A” una matriz cuadrada (el número de renglones y columnas es el mismo), su determinante es un valor numérico que se calcula con todos los coeficientes de la matriz.
Ejemplo 1. Determinante de una matriz de orden “2x2”:
Determinante de una matriz de orden “2x2”
Ejemplo 2. Determinante de una matriz de orden “3x3”:
Procedimiento para determinante de una matriz de orden “3x3”
En el ejemplo anterior, sólo se resaltó con el color respectivo el inicio de las diagonales imaginarias.
Las propiedades de la función determinante facilitan la evaluación del determinante de una matriz, ya sea por su evaluación directa o a través de la diagonalización de la matriz; cabe mencionar que este último método es muy conveniente para calcular los determinantes de matrices muy grandes (de orden mayor a “5x5”).
Para todas las siguientes propiedades, considera que “A” es una matriz cuadrada.
Propiedades de los determinantes
Como se ha mencionado, existen diversos métodos para la evaluación de un determinante; algunos de ellos, como la regla de Sarrus, son convenientes para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3.
A continuación se muestra el método de cofactores que puede aplicarse para matrices mayores; aunque se considera un método de aplicación general, el algoritmo suele complicarse de manera importante al incrementar el orden de la matriz. Por ello, en la práctica el método de diagonalización de Gauss se utiliza de manera preferente; sin embargo, es conveniente mostrar el método de cofactores para proporcionar una visión general sobre las diferentes metodologías existentes en cuanto a la evaluación de los determinantes.
El desarrollo de un determinante por cofactores es el siguiente:
Sea una matriz “A”:
Si se considera a un elemento “ ” de la matriz “A” y se eliminan de ella el renglón “i” y la columna “j”, entonces se forma una matriz “M” que conste de los renglones y columnas no eliminados de “A”; a esta “submatriz” se denomina el menor ij de “A” y se denota como “Mij ”.
Para aclarar el punto, se muestra el siguiente ejemplo a partir de una matriz “3x3”:
Ejemplo de determinante por cofactores
En el ejemplo anterior, sólo se resaltó con el color respectivo el inicio de las diagonales imaginarias.
Cofactores
A continuación, se proporcionará la definición de cofactor de una matriz. El cofactor “ij” de una matriz “A” es el número “ ” determinado por la siguiente expresión:
= (-1)i+j
Donde “ ” es el menor asociado al elemento “ ” de la matriz “A”. Se definirá el método de cálculo del determinante de una matriz “A” a partir de los cofactores de ésta.
El determinante de una matriz cuadrada de orden “ ” es igual a la suma de los productos de los elementos “ ” de un renglón o columna cualquiera por sus cofactores respectivos, es decir:
Ó
Ejemplo: Obtener el determinante de la matriz “A”.
Puedes comprobar el resultado anterior por el método de Sarrus y por cofactores con base en la columna 1 de la matriz indicada.
Actividad. Aplicación del método de Sarrus y de cofactores
Hoy en día, el concepto de determinante tiende a ser referido como resultado de la teoría de matrices y, por ende, se considera como el proceso de axiomatización de las matrices. El determinante fue descubierto por Cramer durante sus trabajos orientados a la resolución de problemas que se formulaban a través de los sistemas de ecuaciones lineales; el concepto fue expuesto por primera vez en 1750.
Autoevaluación. ¿Qué aprendí sobre determinantes?
La teoría de los determinantes fue expuesta por primera vez en 1750, es decir, cien años antes de que Sylvester y Cayley empezaran a hablar de las matrices, y es muy aplicada en el estudio de las ecuaciones lineales y sus soluciones.